第44章 收刀入鞘
8：00。
“各位考生，现在开始答题。”监考老师的声音发出。
“哗啦啦。”
所有人开始动了。
陈迟的卷子铺平在桌面上，纸张的触感光滑而干净。
【第二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛辽东赛区试卷——中学组】
整张卷子简直空的要命。
没有密密麻麻的一行行选择、填空。
六道大题。
三个小时。
这就是省赛。
它的目的不是市赛那样，靠速度和准确率进行海量筛选。
这份卷子要考的是思维纵深。
它一共就六道题，虽然少，但重的像六座大山，横在所有人的眼前。
每一座山爬过去了就是爬过去了，爬不过去就是爬不过去。
没有选择题可以蒙，没有填空可以猜。
每一步推导都要落在纸面上，每一个结论都要有前提撑着。
阅卷老师会顺着你的解题轨迹一路看下来。
在哪个节点出了岔子，就在哪个节点把你的分数截断。
时间一分一秒的过去。
考场里的做题氛围却没变得热烈起来。
空气几乎是沉默的寂静。
一开始还有人写算，但现在，似乎只有断断续续的几声笔落在试卷上的声音。
大部分人都是把笔握在手里，偶尔在草稿纸上点了几下，或是在卷子上写个“解”字，之后再想写点什么出来比从身上挤出奶都困难。
坐在陈迟前方的是一名来自抚市的女学生。
从市赛中脱颖而出以后，她对竞赛的难度有了预判，参加这次省赛，她自以为心中有数。
可现在看着面前的这份试卷，看着第一道题目，在脑海中推算一会儿以后，她长长的叹了一口气。
“ctm啊。”
“这都是啥啊......”
第一题的题目相当简单。
只有一个二元二次方程。
但是题目越短，事情越大。
因为它现在要求的是这两个未知数的值，给出一组正整数解就可以。
到这里问题还不算太大。
但再仔细一看，等式右边写了一个庞然大物——八位数！
这个女生在看清楚这个八位数的第一瞬间就直接懵掉了。
因为这道题一眼看过去真的找不到任何技巧。
似乎只能靠猜，看看能不能猜出一组x和y的解，让他等于那个八位数的值。
而想猜出这么一组正整数......
真的全靠运气。
除了运气，就剩下科技。
上Java、python或者c#......
或者豆包、ChatGpt、Deepseek......
可，时代还没变。
没有运气、没有科技，按照常规的方法来枚举，纯靠手算的话......
这个计算量就太恐怖了！
省赛的学生们当然也不会笨到只靠猜。
他们当然能意识到。
这道题里，出题人的目的是要他们看穿这个八位数的本质。
这一定是个因式分解问题。
但具体怎么分解。
这正是困住大部分考生的一步。
“呼......哈......”
深呼吸的声音，此起彼伏，接连不断。
但这些考场上不断发出的噪音，不会顺着陈迟的耳朵传入中枢神经。
他已来到了独属于他的世界边缘。
“（256，4403）”
“（344，4397）”
“（581，4372）”
“......”
在所有考生和出题人勾心斗角的时候，陈迟的视网膜前缓慢跳动着一组组的数字。
每一组，都是这个二元二次方程的一组正整数解。
“唉。”
陈迟叹了口气。
不是难。
而是拥有这种能力的他。
碰上这种题。
真的很无聊。
他可以随手选一组答案写上去。
但那么做这道题的话，好像也太没意义了。
于是他握着笔，写下一行式子：
（ac+bd）²+（ad-bc）²=（a²+b²）（c²+d²）
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式。
他将八位数拆解为两个整数的乘积。
然后再将两个整数，拆解为两个数平方的和。
代入代数恒等式，直接得到一组正整数解：
x=4403
y=256
秒了。
带上解字，一共写了四行。
从婆罗摩笈多-斐波那契恒等式开始，到代入拆解，到最后的x，y结果，整道题只占了答题区不到三分之一的空白。
全程用时不超30秒。
关键不在于公式。
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式并不偏门，会的学生很多，就算不知道，拉格朗日恒等式照样能解题。
关键是对数字的感觉。
要看穿这个八位数，不靠运气的话，大部分学生就算能做到，也要花费大量的时间。
陈迟不一样。
他看穿这个八位数。
只需一眼。
“呼。”
前面的女生又长叹了口气，眉头始终拧着没有展开过。
她已经放下笔了，整个人坐佛似得坐在位子上，眼观鼻，鼻观口。
她看向那道题。
越看越没头绪。
越看越绝望。
她开始犹豫，在这种因式分解无望的时刻，要不要转而枚举，海量计算来得出结果。
左脑这样，右脑那样，两种思路绝不会齐头并进，而是在脑袋里开始打架，把整个脑海打成一锅粥、一团浆糊。
一片混乱之中，时间就像是加快了流逝速度。
等女生浑浊的双眸再次明亮起来，她抬头看表，惊恐的发现分针已经转了15分钟。
“嘶......呼......”
喘息声更重了。
而就在这个时候，背后传来一声清亮的“哗啦”，那是试卷翻动的声音。
那代表着她身后的考生，做题进度已经快到要做第二页。
女生满眼惊恐的抬起头。
她想转过去看一眼，但她不能。
她只能感觉到背后仿佛有把刀子在悬着一样，让她手脚冰凉、冷汗直流。
然而这还不是最灾难的。
当她开始关注自己背后的声音，她就能听到连续不断的“笃笃笃”。
那是笔尖隔着试卷触碰到桌子所发出的轻微敲击声，代表着那个人在飞速的计算、推导，思路没有一丝的停隔。
摆在陈迟面前的，是这张试卷的第四题。
这是一道数列题。
陈迟用的解题方法并不难，反证法、归纳法、集合......
这些东西就算是普通的高中生来了，也基本上都能看懂，都很常见，在这样一场竞赛里，绝对没人说这道题是超纲的。
因为它不考察任何高深的知识点。
和前面的题目一样，它唯一需要的就是你有数学想象力。
因为这道题没有多少逻辑和技巧可言，它就考你看到这道题，能不能猜出来或是灵光一现。
你脑海里那条线接上了。
那就连通了，这分你拿。
你接不上。
那就卡死在那，只能没头苍蝇一样乱撞。
b2/b1＜（2+1）/1
bn/b1＜n（n+1）/2
陈迟握着钢笔，“唰唰”的写着，答题部分已经写满了将近三分之二。
从这里推到那里，又推出上面。
繁复而严谨的证明。
密密麻麻的往后写。
这种唰唰的写字声，在这个死寂到近乎绝望的考场里，分外刺耳。
尤其是坐在前排的那个女生，从她开始关注那个声音，那个带着某种奇特韵律的声音就再没在她的耳边停止过。
焦躁。
不安。
手，放在了头皮上，不断的抠动，等她意识到的时候，指尖已经沾了一层薄薄的油汗，指缝里嵌着几根掉下来的碎发。
她再看向钟表。
时间的流逝不会缓解一丝她的不安，而是把压力加重、放大。
女生彻底放下了笔，趴在了桌子上，没人知道她在哭，还是别的什么。
没人在意。
陈迟更不会在意。
他完全沉浸在数学的世界里。
第六题。
最后一题。
作为压轴的是一道几何题，出题人画了一个凸四边形和两个圆组成的复杂图形。
求证四点共圆。
陈迟看到这道题的第一瞬间就觉得。
出题人给的干扰线段太多了。
那么多的圆，那么多的线。
哪有那么复杂？
太多的冗余元素可以消去了。
陈迟知道出题人的想法，他大概是要考生灵感一现，想出一种极精妙的几何方法，用作平行线和相似三角形来证明。
但他不打算那么做。
在他的数学思维里。
审美支配一切。
出题人搞出这么丑的东西，那是他的错，而不是考生的错。
考生没有那个义务对着这个丑东西做题。
丑的东西就该先被优化。
于是他搬出正弦定理，几行计算证明怼上去。
圆没了。
点没了。
原本复杂的几何图形。
现在就剩下一个光秃秃的凸四边形。
陈迟放下尺子，嘴角微微上扬。
现在他满意了。
这道题也彻底清晰明了。
利用分角定理和平行线分线段成比例定理计算就完事儿了。
于是他开始动笔。
证明：
设BP，DQ交CA于I，I’，∠BAD内四个小角为∠1，∠2，∠3，∠4。
则θ=∠1+∠3=∠2+∠4=∠BPA。
......
△ABI中，由正弦定理得AI=ABxsin∠1/sin∠3，同理AI’=ADxsin∠2/sin∠4。
∴AI=AI’，即I，I’重合。
则IPxIB=IA²=IQxIQ
即PBDQ四点共圆。
没有精妙至极的几何方法，甚至没用到太多的几何性质和方法，相似、共圆都没用上。
顶多用了点简单的圆幂知识。
非要说什么最关键，那大概是陈迟把出题人给“砍”了。
哦不，是出题人的图形。
证毕。
陈迟松了口气。
看着面前已经被密密麻麻推导填满的卷子，他十指交拢，稍稍的活动了下手腕、手指。
看了眼手表。
9点25分。
周围空气里充斥着一种令人窒息的平静。
考试进行到现在，人仰马翻无数。
大部分人现在都在发呆。
也有人在双手颤抖着，在草稿纸上一遍遍无意义的重算。
每算一遍。
绝望更增加一分。
“咔嚓。”
陈迟盖上钢笔的笔帽，声音利落干脆如收刀入鞘。
几个听到声音的学生惊恐的朝着陈迟看去。
一片寂静之中，那一根根早已绷到极限的弦。
应声而断。
......
......
......
“各位考生，现在开始答题。”监考老师的声音发出。
“哗啦啦。”
所有人开始动了。
陈迟的卷子铺平在桌面上，纸张的触感光滑而干净。
【第二届全国华罗庚金杯少年数学邀请赛辽东赛区试卷——中学组】
整张卷子简直空的要命。
没有密密麻麻的一行行选择、填空。
六道大题。
三个小时。
这就是省赛。
它的目的不是市赛那样，靠速度和准确率进行海量筛选。
这份卷子要考的是思维纵深。
它一共就六道题，虽然少，但重的像六座大山，横在所有人的眼前。
每一座山爬过去了就是爬过去了，爬不过去就是爬不过去。
没有选择题可以蒙，没有填空可以猜。
每一步推导都要落在纸面上，每一个结论都要有前提撑着。
阅卷老师会顺着你的解题轨迹一路看下来。
在哪个节点出了岔子，就在哪个节点把你的分数截断。
时间一分一秒的过去。
考场里的做题氛围却没变得热烈起来。
空气几乎是沉默的寂静。
一开始还有人写算，但现在，似乎只有断断续续的几声笔落在试卷上的声音。
大部分人都是把笔握在手里，偶尔在草稿纸上点了几下，或是在卷子上写个“解”字，之后再想写点什么出来比从身上挤出奶都困难。
坐在陈迟前方的是一名来自抚市的女学生。
从市赛中脱颖而出以后，她对竞赛的难度有了预判，参加这次省赛，她自以为心中有数。
可现在看着面前的这份试卷，看着第一道题目，在脑海中推算一会儿以后，她长长的叹了一口气。
“ctm啊。”
“这都是啥啊......”
第一题的题目相当简单。
只有一个二元二次方程。
但是题目越短，事情越大。
因为它现在要求的是这两个未知数的值，给出一组正整数解就可以。
到这里问题还不算太大。
但再仔细一看，等式右边写了一个庞然大物——八位数！
这个女生在看清楚这个八位数的第一瞬间就直接懵掉了。
因为这道题一眼看过去真的找不到任何技巧。
似乎只能靠猜，看看能不能猜出一组x和y的解，让他等于那个八位数的值。
而想猜出这么一组正整数......
真的全靠运气。
除了运气，就剩下科技。
上Java、python或者c#......
或者豆包、ChatGpt、Deepseek......
可，时代还没变。
没有运气、没有科技，按照常规的方法来枚举，纯靠手算的话......
这个计算量就太恐怖了！
省赛的学生们当然也不会笨到只靠猜。
他们当然能意识到。
这道题里，出题人的目的是要他们看穿这个八位数的本质。
这一定是个因式分解问题。
但具体怎么分解。
这正是困住大部分考生的一步。
“呼......哈......”
深呼吸的声音，此起彼伏，接连不断。
但这些考场上不断发出的噪音，不会顺着陈迟的耳朵传入中枢神经。
他已来到了独属于他的世界边缘。
“（256，4403）”
“（344，4397）”
“（581，4372）”
“......”
在所有考生和出题人勾心斗角的时候，陈迟的视网膜前缓慢跳动着一组组的数字。
每一组，都是这个二元二次方程的一组正整数解。
“唉。”
陈迟叹了口气。
不是难。
而是拥有这种能力的他。
碰上这种题。
真的很无聊。
他可以随手选一组答案写上去。
但那么做这道题的话，好像也太没意义了。
于是他握着笔，写下一行式子：
（ac+bd）²+（ad-bc）²=（a²+b²）（c²+d²）
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式。
他将八位数拆解为两个整数的乘积。
然后再将两个整数，拆解为两个数平方的和。
代入代数恒等式，直接得到一组正整数解：
x=4403
y=256
秒了。
带上解字，一共写了四行。
从婆罗摩笈多-斐波那契恒等式开始，到代入拆解，到最后的x，y结果，整道题只占了答题区不到三分之一的空白。
全程用时不超30秒。
关键不在于公式。
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式并不偏门，会的学生很多，就算不知道，拉格朗日恒等式照样能解题。
关键是对数字的感觉。
要看穿这个八位数，不靠运气的话，大部分学生就算能做到，也要花费大量的时间。
陈迟不一样。
他看穿这个八位数。
只需一眼。
“呼。”
前面的女生又长叹了口气，眉头始终拧着没有展开过。
她已经放下笔了，整个人坐佛似得坐在位子上，眼观鼻，鼻观口。
她看向那道题。
越看越没头绪。
越看越绝望。
她开始犹豫，在这种因式分解无望的时刻，要不要转而枚举，海量计算来得出结果。
左脑这样，右脑那样，两种思路绝不会齐头并进，而是在脑袋里开始打架，把整个脑海打成一锅粥、一团浆糊。
一片混乱之中，时间就像是加快了流逝速度。
等女生浑浊的双眸再次明亮起来，她抬头看表，惊恐的发现分针已经转了15分钟。
“嘶......呼......”
喘息声更重了。
而就在这个时候，背后传来一声清亮的“哗啦”，那是试卷翻动的声音。
那代表着她身后的考生，做题进度已经快到要做第二页。
女生满眼惊恐的抬起头。
她想转过去看一眼，但她不能。
她只能感觉到背后仿佛有把刀子在悬着一样，让她手脚冰凉、冷汗直流。
然而这还不是最灾难的。
当她开始关注自己背后的声音，她就能听到连续不断的“笃笃笃”。
那是笔尖隔着试卷触碰到桌子所发出的轻微敲击声，代表着那个人在飞速的计算、推导，思路没有一丝的停隔。
摆在陈迟面前的，是这张试卷的第四题。
这是一道数列题。
陈迟用的解题方法并不难，反证法、归纳法、集合......
这些东西就算是普通的高中生来了，也基本上都能看懂，都很常见，在这样一场竞赛里，绝对没人说这道题是超纲的。
因为它不考察任何高深的知识点。
和前面的题目一样，它唯一需要的就是你有数学想象力。
因为这道题没有多少逻辑和技巧可言，它就考你看到这道题，能不能猜出来或是灵光一现。
你脑海里那条线接上了。
那就连通了，这分你拿。
你接不上。
那就卡死在那，只能没头苍蝇一样乱撞。
b2/b1＜（2+1）/1
bn/b1＜n（n+1）/2
陈迟握着钢笔，“唰唰”的写着，答题部分已经写满了将近三分之二。
从这里推到那里，又推出上面。
繁复而严谨的证明。
密密麻麻的往后写。
这种唰唰的写字声，在这个死寂到近乎绝望的考场里，分外刺耳。
尤其是坐在前排的那个女生，从她开始关注那个声音，那个带着某种奇特韵律的声音就再没在她的耳边停止过。
焦躁。
不安。
手，放在了头皮上，不断的抠动，等她意识到的时候，指尖已经沾了一层薄薄的油汗，指缝里嵌着几根掉下来的碎发。
她再看向钟表。
时间的流逝不会缓解一丝她的不安，而是把压力加重、放大。
女生彻底放下了笔，趴在了桌子上，没人知道她在哭，还是别的什么。
没人在意。
陈迟更不会在意。
他完全沉浸在数学的世界里。
第六题。
最后一题。
作为压轴的是一道几何题，出题人画了一个凸四边形和两个圆组成的复杂图形。
求证四点共圆。
陈迟看到这道题的第一瞬间就觉得。
出题人给的干扰线段太多了。
那么多的圆，那么多的线。
哪有那么复杂？
太多的冗余元素可以消去了。
陈迟知道出题人的想法，他大概是要考生灵感一现，想出一种极精妙的几何方法，用作平行线和相似三角形来证明。
但他不打算那么做。
在他的数学思维里。
审美支配一切。
出题人搞出这么丑的东西，那是他的错，而不是考生的错。
考生没有那个义务对着这个丑东西做题。
丑的东西就该先被优化。
于是他搬出正弦定理，几行计算证明怼上去。
圆没了。
点没了。
原本复杂的几何图形。
现在就剩下一个光秃秃的凸四边形。
陈迟放下尺子，嘴角微微上扬。
现在他满意了。
这道题也彻底清晰明了。
利用分角定理和平行线分线段成比例定理计算就完事儿了。
于是他开始动笔。
证明：
设BP，DQ交CA于I，I’，∠BAD内四个小角为∠1，∠2，∠3，∠4。
则θ=∠1+∠3=∠2+∠4=∠BPA。
......
△ABI中，由正弦定理得AI=ABxsin∠1/sin∠3，同理AI’=ADxsin∠2/sin∠4。
∴AI=AI’，即I，I’重合。
则IPxIB=IA²=IQxIQ
即PBDQ四点共圆。
没有精妙至极的几何方法，甚至没用到太多的几何性质和方法，相似、共圆都没用上。
顶多用了点简单的圆幂知识。
非要说什么最关键，那大概是陈迟把出题人给“砍”了。
哦不，是出题人的图形。
证毕。
陈迟松了口气。
看着面前已经被密密麻麻推导填满的卷子，他十指交拢，稍稍的活动了下手腕、手指。
看了眼手表。
9点25分。
周围空气里充斥着一种令人窒息的平静。
考试进行到现在，人仰马翻无数。
大部分人现在都在发呆。
也有人在双手颤抖着，在草稿纸上一遍遍无意义的重算。
每算一遍。
绝望更增加一分。
“咔嚓。”
陈迟盖上钢笔的笔帽，声音利落干脆如收刀入鞘。
几个听到声音的学生惊恐的朝着陈迟看去。
一片寂静之中，那一根根早已绷到极限的弦。
应声而断。
......
......
......